Як знайти боку прямокутного трикутника? Основи геометрії

Катети і гіпотенуза - сторони прямокутного трикутника. Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута в 90^про. Піфагорових трикутником називається той, сторони якого рівні натуральним чіслам- їх довжини в такому випадку мають назву «пифагорова трійка».

Єгипетський трикутник

Для того щоб нинішнє покоління дізналося геометрію в тому вигляді, в якому її викладають у школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основоположним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного трикутника (фігура відома на весь світ) складають 3, 4, 5.

Мало хто не знайомий з фразою «Піфагороі штани сторони рівні». Однак насправді теорема звучить так: c² (квадрат гіпотенузи) = a²+b² (сума квадратів катетів).

Серед математиків трикутник зі сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. Д.) Називається "єгипетським". Цікаво те, що радіус кола, що вписана в фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили в Єгипет.

При побудові пірамід архітектори і землеміри користувалися співвідношенням 3: 4: 5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.

Для того щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому випадку ймовірність побудови саме прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.

Ознаки рівності фігур

• Гострий кут в прямокутному трикутнику і велика сторона, які дорівнюють тим же елементам в другому трикутнику, - безперечний ознака рівності фігур. Враховуючи суму кутів, легко довести, що другі гострі кути також рівні. Таким чином, трикутники однакові по другому ознакою.
• При накладенні двох фігур один на одного повернемо їх таким чином, щоб вони, поєднавши, стали одним рівнобедреного трикутника. За його властивості боку, а точніше, гіпотенузи, дорівнюють, так само як і кути при основі, а значить, ці фігури однакові.

За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники дійсно рівні, головне, щоб дві менші сторони (тобто. Е. Катети) були рівними між собою.

Трикутники будуть однаковими за II ознакою, суть якого полягає в рівності катета і гострого кута.

Властивості трикутника з прямим кутом

Висота, яку опустили з прямого кута, розбиває фігуру на дві рівні частини.

Сторони прямокутного трикутника і його медіани легко впізнати за правилом: медіана, яка опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. Площа фігури можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині добутку катетів.

У прямокутному трикутнику діють властивості кутів в 30^про, 45^про і 60^про.

• При куті, який дорівнює 30^про, слід пам'ятати, що протилежний катет буде дорівнює 1/2 найбільшою сторони.
• Якщо кут 45^про, значить, другий гострий кут також 45^про. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, і його катети однакові.
• Властивість кута в 60^про полягає в тому, що третій кут має градусну міру в 30^про.

Площа легко впізнати по одній з трьох формул:

1. через висоту і сторону, на яку вона опускається;
2. за формулою Герона;
3. по сторонах і куту між ними.

Сторони прямокутного трикутника, а точніше катети, сходяться з двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати утворився трикутник, і тоді по теоремі Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули існує також співвідношення подвоєної площі і довжини гіпотенузи. Найбільш поширеним виразом серед учнів є перше, тому що вимагає менше розрахунків.

Теореми, застосовувані до прямокутного трикутника

Геометрія прямокутного трикутника включає в себе використання таких теорем, як:

1. Теорема Піфагора. Її суть полягає в тому, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. У евклідової геометрії дане співвідношення є ключовим. Використовувати формулу можна, якщо дано трикутник, наприклад, SNH. SN - гіпотенуза, і її необхідно знайти. Тоді SN²= NH²+HS².
2. Теорема косинусів. Узагальнює теорему Піфагора: g²= f²+s²-2fs * cos кута між ними. Наприклад, дано трикутник DOB. Відомі катет DB і гіпотенуза DO, необхідно знайти OB. Тоді формула приймає даний вид: OB²= DB²+DO²-2DB * DO * cos кута D. Існує три слідства: кут трикутника буде гострокутним, якщо з суми квадратів двох сторін відняти квадрат довжини третьої, отриманий результат повинен бути менше нуля. Кут - тупокутний, в тому випадку, якщо даний вираз більше нуля. Кут - прямий при рівності нулю.
3. Теорема синусів. Вона показує залежність сторін до протилежить кутах. Іншими словами, це відношення довжин сторін до синусам протилежних кутів. У трикутнику HFB, де гіпотенузою є HF, буде справедливо: HF / sin кута B = FB / sin кута H = HB / sin кута F.